Виды углов
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами. На рисунке (a2b) и (a1b) смежные углы.
Свойства смежных углов.

• Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
• Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
• Угол, смежнй с острым, является тупым, а смежный с ним тупой - острым.

Теорема Сумма смежных углов равна 180?.
Доказательство.
Пусть ∠(a2b) и ∠(a1b) – смежные углы. Полупрямая b разбивает развернутый угол (a1a2) на два угла. Значит ∠(a2b) + ∠(a1b) = ∠ (a1a2) = 180?. Т.е. сумма смежных углов равна 180?. Теорема доказана.

Теорема
Если два угла равны, то смежные с ним углы равны.
Доказательство.
Углы ∠(a2b) и ∠(a1b) – смежные углы и ∠(с2d) и ∠(с1d) тоже смежные углы.
Пусть ∠(a1b) = ∠(с1d). Но из ранее доказанного следует, что ∠(a1b) + ∠(a2b) =180° и ∠(с1d) + ∠(с2d) =180°. Тогда ∠(a1b) =180° - ∠(a2b) и ∠(с1d) =180° - ∠(с2d). А углы ∠(a1b) и ∠(с1d) равны, следовательно 180° - ∠(a2b) =180° - ∠(с2d). Из этого видно, что ∠(a2b) = ∠(с2d). Теорема доказана.

Угол называется острым, если его градусная мера которого больше 0°, но меньше 90°.
Угол называется тупым, если его градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
Угол равный 90°, называется прямым.
Если угол острый, то смежный с ним угол тупой и наоборот.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла. Пары углов ∠(a2b2) и ∠(a1b1), ∠(a2b1) и ∠(a1b2) – вертикальные углы.
Теорема.
Вертикальные углы равны.
Доказательство.
Пусть ∠(a2b2) и ∠(a1b1) – вертикальные углы. Угол (a2b1) является смежным ∠(a2b2) и ∠(a1b1) и дополняет их до 180°, по теореме о сумме смежных углов, следовательно ∠(a2b2) и ∠(a1b1) равны. Теорема доказана.

∠(a2b2) = ∠(a1b1), ∠(a2b1) = ∠(a1b2) .

Углом между прямыми a и b называется меньший из углов с вершиной в точке O.
Углом между прямыми a и b считается угол AOB.